What Is Your Favorite Book on Classical Control?

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Design and compensation techniques

Compensation is the adjustment of a system in order to satisfy the given specifications.

Performance specifications: control systems are designed to perform specific tasks. The requirements imposed upon the control system are usually spelled out as performance specifications. They generally relate to accuracy, relative stability, and speed of response.

For routine design problems, the performance specifications may be given in terms of precise numerical values. In other cases, the may be given partially in terms of precise numerical values and partially in terms of qualitative statements. In the latter case, the specifications may have to be modified during the course of design since the given specifications may never be satisfied (because of conflicting requirements) or may lead to a very expensive system.

Generally speaking, the performance specifications should  not be more stringent than necessary to perform the given task. If the accuracy at steady-state operation is of prime importance in a given control system, then we should not require unnecessarily rigid performance specifications on the transient response since such specifications will require expensive components. Remember that the most important part of control system design is to state the performance specifications precisely so that they will yield an optimal control system for the given purpose.

Modern Control Engineering, Ogata, 1970.

El concepto de estado

El concepto de estado es un concepto abstracto, y al igual que un número natural, por ejemplo el cinco, puede representarse con caracteres arábigos como $5$, con caracteres romanos como $V$, o en forma binaria como  $1 0 1$, el estado puede representarse de diversas maneras. Siempre nos referiremos al "estado de un circuito o sistema" pero debemos tener presente que la forma correcta de expresarse es: "el estado de un sistema puede representarse por...".

Una colección de datos puede llamarse estado de un sistema, si satisface las condiciones siguientes:

1. Para cada instante $t_1$, el estado en $t_1$ y el conocimiento de la forma de onda de la excitación entre $t_1$ y $t$ permite calcular el nuevo estado en $t>t_1$.
2. El conocimiento del estado en $t$ y de la excitación en $t$ debe permitir calcular en forma única el valor de las variables del sistema en $t$.

En el caso particular en que se considere el estado como un vector, las componentes de este vector se llaman variables de estado.

A continuación analizaremos si las dos condiciones anteriores se satisfacen para las diversas relaciones que hemos estudiado en este capítulo.

La fórmula básica que relaciona al estado $\vec{x}$ en $t$ con el estado $\vec{x_0}$ en $t_0$ es,

$\vec{x(t)}=e^{([A](t-t_0))}\ \vec{x_0}\ + \int_{t_0}^{t}e^{([A](t-t^{'}))} \ [B] \ \vec{u(t^{'})} dt^{'}$

Esta fórmula señala que si conocemos el estado $\vec{x}$ en $t=t_0$ y la excitación $\vec{u}(t)$ en el intervalo $[t_0,t]$,  podemos calcular el estado $\vec{x}$ para cualquier instante $t\geq t_0$, satisfaciéndose, por lo tanto la primera condición para que un vector $\vec{x}$ pueda considerarse un vector de estado.

Por otra parte, para cualquier grupo de variable del sistema, tomadas como componentes de un vector $\vec{y}$, puede establecerse la siguiente relación con el vector de estado $\vec{x}$ y el de escitación $\vec{u}$.

$\vec{y}=[C]\ \vec{x}(t)+[D]\ \vec{x}(t)$

Por lo tanto, el conocimiento del estado $\vec{x}$ y de la excitación $\vec{u}$ en $t$, permite calcular el vector $\vec{y}$, cuyas componentes pueden ser cualquiera de las variables del sistema.