El concepto de estado

El concepto de estado es un concepto abstracto, y al igual que un número natural, por ejemplo el cinco, puede representarse con caracteres arábigos como $5$, con caracteres romanos como $V$, o en forma binaria como  $1 0 1$, el estado puede representarse de diversas maneras. Siempre nos referiremos al "estado de un circuito o sistema" pero debemos tener presente que la forma correcta de expresarse es: "el estado de un sistema puede representarse por...".

Una colección de datos puede llamarse estado de un sistema, si satisface las condiciones siguientes:

1. Para cada instante $t_1$, el estado en $t_1$ y el conocimiento de la forma de onda de la excitación entre $t_1$ y $t$ permite calcular el nuevo estado en $t>t_1$.
2. El conocimiento del estado en $t$ y de la excitación en $t$ debe permitir calcular en forma única el valor de las variables del sistema en $t$.

En el caso particular en que se considere el estado como un vector, las componentes de este vector se llaman variables de estado.

A continuación analizaremos si las dos condiciones anteriores se satisfacen para las diversas relaciones que hemos estudiado en este capítulo.

La fórmula básica que relaciona al estado $\vec{x}$ en $t$ con el estado $\vec{x_0}$ en $t_0$ es,

$\vec{x(t)}=e^{([A](t-t_0))}\ \vec{x_0}\ + \int_{t_0}^{t}e^{([A](t-t^{'}))} \ [B] \ \vec{u(t^{'})} dt^{'}$

Esta fórmula señala que si conocemos el estado $\vec{x}$ en $t=t_0$ y la excitación $\vec{u}(t)$ en el intervalo $[t_0,t]$,  podemos calcular el estado $\vec{x}$ para cualquier instante $t\geq t_0$, satisfaciéndose, por lo tanto la primera condición para que un vector $\vec{x}$ pueda considerarse un vector de estado.

Por otra parte, para cualquier grupo de variable del sistema, tomadas como componentes de un vector $\vec{y}$, puede establecerse la siguiente relación con el vector de estado $\vec{x}$ y el de escitación $\vec{u}$.

$\vec{y}=[C]\ \vec{x}(t)+[D]\ \vec{x}(t)$

Por lo tanto, el conocimiento del estado $\vec{x}$ y de la excitación $\vec{u}$ en $t$, permite calcular el vector $\vec{y}$, cuyas componentes pueden ser cualquiera de las variables del sistema.