En esta serie de dos artículos, siendo la identificación de los parámetros del sistema el primer artículo, pretendo diseñar un controlar PID para un sistema de primer orden.
Hay varias maneras de diseñar un controlador PID: prueba y error, Ziegler-Nichols o el diseño basado en un modelo matemático. En muchos libros de control, te presentan las funciones de transferencias y no explican donde las obtuvieron; por lo que en la práctica, se dificulta aplicar la teoría de control basada en un modelo matemático, debido a que no sabemos como obtener la función de transferencia.
Nuestro sistema de primer orden consistirá en un circuito RC, como el que te presentó en la siguiente figura1.
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| Figura1. Montaje de circuito. |
Para el circuito RC utilizaremos un capacitor de 100 uF y un resitor de 10 kOhm.
La función de transferencia de un sistema de primer orden es la siguiente:
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| Figura2. Función de transferencia RC. |
En donde RC es la constante de tiempo (tau), que es el tiempo en el cual la salida del sistema alcanza el 63%, debido a una entrada escalón. Si sustituimos los valores del capacitor y resistor, la función de transferencia queda de la siguiente manera:
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| Figura3. Función de transferencia RC=1. |
Si a nuestro sistema lo excitamos con una señal de tipo escalón, en cuatro tau alcanzará aproximadamente el 98% de su voltaje final. Para profundizar en la teoría de sistemas de primer orden, les comparto este video. Para análisis de circuitos RC les comparto este link de Khan Academy, donde tienen una serie de videos explicando este tema en el dominio del tiempo. En el dominio de Laplace les comparto este video de quien explica de manera excelente.
La salida de nuestro circuito debido a una entrada escalón unitario es la siguiente:
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| Figura4. Simulación de respuesta al escalón unitario. |
Se puede observar que en cuatro tau, 4 segundos, alcanza aproximadamente el 98% del valor final de la salida del sistema.
¿Qué pasa si no conocieramos los parámetros del sistema, en este caso la resistencia y la capacitancia del circuito?
Para este experimento utilizo Simulink, Matlab y Arduino. Para la identificación de las características del sistema creé un modelo en Simulink para la pc y uno para cargarlo en el Arduino Uno, de manera que todo el programa corra embebido en el Arduino y la pc solo tenga la función de visualizar datos, guardarlos, para su posterior análisis, etc.
El modelo que cargaré en el Arduino es el siguiente:
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| Figura5. Arduino embebido. |
Y el que correré en la pc es el siguiente:
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| Figura6. Host PC. |
Ya cargado el programa en el Arduino, procedo a correr el programa host en la pc, obteniendo la siguiente gráfica.
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| Figura7. Scope Host Pc. |
Básicamente, el experimento consiste en aplicar un voltaje de entrada de 5 volts al circuito RC en t = 10 segundos. Los pines pwm de Arduino son capaces de brindar 5 voltios cuando se le configura a 255 equivalente a un duty cycle del 100 %, debido a que este pwm es de 8 bits.
Los datos entrada-salida se muestran en la figura7, estos datos son guardados en la variable x, que es un arreglo de vectores que se deben extraer para su posterior análisis.
El m file para extraer los valores Vin, Vout y t, de x es el siguiente:
clc
clear ans, clear Vin, clear Vout clear i;
senal=x.signals.values;
t=x.time;
for i=1:1:length(senal)
senal(:,:,i);
Vin(i)=ans(1);
Vout(i)=ans(2);
end
Vin=double(Vin');
Vout=double(Vout');
clear ans, clear i, clear senal;
Teniendo el voltaje de entrada Vin, el voltaje de salidos Vout, que es el voltaje del capacitor y el tiempo t, en el workspace de Matlab, procedemos a la identificación de los parámetros de sistema con la aplicación System Identification corriendo el comando >> ident en el prompt.
Damos click en Time domain data, se abre la siguiente ventana la cual configuramos de esta manera:
Damos en click en Time plot y podemos visualizar los datos obtenidos en el experimento.
Debido a que el rango de interes de 10 segundos en adelante, realizo un pre-procesamiento a la señal, tomando un rago de tiempo de 9.9 seg < t < 17 seg.
Se abre la siguiente ventana donde configuramos el rango de tiempo de nuestro interés en Time span, damos click en insert y los cambios se guardarán en la variable mydatae.
Mydatae se utilizará en Working data, para la obtención de la función de transferencia. Damos click en estimate, posterior en Transfer Function.
Se abre la siguiente ventana, en donde configuramos la cantidad de polos, en nuestro caso solo es un polo debido a que el sistema es de primer orden, y ningún cero. Permanece seleccionado Continous-time y damos click en estimate.
La función de tranferencia tf1 pasa a la ventana principal. Aquí ya podemos validar tf1 dándole click en model output.
Se abre la siguiente ventana, donde validamos que tf1 corresponde en un 99.52% de los datos obtenidos en nuestro experimento.
Tf1 lo llevamos al workspace. Lo podemos visualizar escribiendo el siguiente comando en el prompt.
>> tf1
tf1 =
From input "u1" to output "y1":
0.9332
----------
s + 0.9364
Tf1 aún no está en la forma que lo presenté en la figura2. Por lo que dividimos cada uno de los términos de tf1 con 0.9364, como se muestra a continuación:
>> tf2=tf(tf1.num/tf1.den(2),tf1.den/tf1.den(2))
tf2 =
0.9966
-----------
1.068 s + 1
Continuous-time transfer function.
Como podemos ver, la función de transferencia obtenida experimental es casi idéntica a la teórica.
Bueno, todo esto que les comparto no lo hago por motivos de lucro, considero que el conocimiento no debe estar encerrado para un cierto grupo, sino que debe estar para todo aquel que lo busca, todo para bien. Cualquier comentario o duda estoy a la orden. Saludos, hasta la próxima.
